1. Bir cevabın arkasındaki düşünme biçimi
Örneğin “paydası büyük olan kesir daha büyüktür” düşüncesi, doğal sayılarda işe yarayan bir karşılaştırma yolunun kesirlere taşınmasıyla ilişkili olabilir. Öğrenci, 8’in 4’ten büyük olduğunu biliyor olabilir; sorun, bu bilginin aynı bütüne ait 1/8 ile 1/4 karşılaştırmasına nasıl uygulandığıdır.
Yanlış düşüncenin her soruda yanlış cevap üretmesi gerekmez. Aynı kural bazı sayılarda tesadüfen doğru sonuca götürebilir. Bu nedenle doğru cevap da tek başına kavramsal anlamanın yeterli kanıtı değildir.
Bingölbali ve Özmantar; Nesher (1987).
Önceki bilgi bütünüyle yanlış veya işe yaramaz kabul edilmemelidir. Gelişen anlayışın kullanılabilir parçaları bulunabilir; öğretim bu parçaları yeni bağlamlarla ilişkilendirebilir. “Bu öğrenci böyle düşünüyor” ifadesi de kalıcı bir kimlik etiketine dönüştürülmemelidir.
2. Her hata kavram yanılgısı değildir
Hata gözlenen ürünü; kavram yanılgısı bu ürüne kaynaklık edebilecek düşünme biçimini anlatır. Zorluk ise daha geniş bir kavramdır. Aynı görevde kavramsal ve işlemsel sorunlar birlikte bulunabilir; aşağıdaki ayrımlar birbirini dışlayan öğrenci grupları oluşturmaz.
| Kavram | Ne anlatır? | Ne araştırılır? |
|---|---|---|
| Hata | Yanlış sonuç, işlem adımı, sembol kullanımı veya çizim. | Öğrenci işlemi doğru açıklayıp hesapta mı yanılıyor? Aynı hatayı yeniden yapıyor mu? |
| Kavram yanılgısı | Bir kavram veya ilişkiye yüklenen sorunlu anlam. | Hangi kuralı kullanıyor? Kuralı savunurken ne söylüyor? Karşıt örneklerde ne yapıyor? |
| Bilgi eksikliği | Bir tanım, ilişki veya işlemin henüz bilinmemesi ya da erişilebilir olmaması. | “Bilmiyorum” mu diyor, yoksa belirli bir yanlış açıklama mı kullanıyor? Ön koşul bilgisi var mı? |
| Öğrenme zorluğu | Kavramı anlama, temsil kurma, dil, strateji veya araç kullanma sırasında yaşanan güçlük. | Zorluk hangi aşamada ortaya çıkıyor? Soru okununca, model değişince veya araç öğretilince performans değişiyor mu? |
52 − 38 = 26 yanıtını düşünün
Öğrenci “Her basamakta büyük rakamdan küçüğü çıkardım” diyorsa, kullanılan yöntem ve yeniden gruplamanın anlamı incelenmelidir. Fakat öğrenci 52’yi 4 onluk 12 birlik olarak doğru açıklayıp sonucu yazarken bir rakamı yanlış geçirmiş de olabilir. Aynı yanlış sonuç, aynı neden demek değildir.
Boş bırakma, yavaş yanıtlama, soruyu yeniden okuma veya bir aracı kullanamama doğrudan kavram yanılgısı kanıtı sayılamaz. Bu durumların nedenleri ayrıca araştırılır.
3. Aynı yanıt farklı gerekçelerden doğabilir
Birinci görev
0,4 mü, 0,35 mi daha büyük?
“0,4 daha büyük” doğru bir yanıttır. “0,4, kırk yüzde birlik; 0,35, otuz beş yüzde birliktir” açıklaması ortak birim üzerinden karşılaştırma yapar. “Kısa yazılan ondalık sayı her zaman büyüktür” açıklaması ise bu örnekte doğru sonuca ulaşsa da geçerli bir genel kural değildir.
İkinci görev
0,4 mü, 0,65 mi daha büyük?
İkinci çift, kısa yazımı büyük kabul eden düşünceyi sınamak için seçilebilir. Öğrencinin iki görevi aynı gerekçeyle nasıl çözdüğü, tek bir doğru cevaptan daha fazla bilgi sağlar.
Gerekçe de ezberlenmiş bir cümle olabilir. Bu nedenle öğrenciden yüzlük model veya sayı doğrusu üzerinde açıklama yapması, sayıları kendisinin seçmesi ya da başka bir öğrencinin çözümünü değerlendirmesi istenebilir.
4. Hangi düşünme örüntüleriyle karşılaşılabilir?
Aşağıdaki başlıklar, öğrenci açıklamalarını incelemek için kullanılabilir. Bir cevap birden fazla başlıkla ilişkili olabilir. Örnekler bu rehber için düzenlenmiştir.
Aşırı genelleme
Belirli koşullarda işe yarayan bir ilişkiyi geçerli olmadığı durumlara genişletmektir. “Çarpma sonucu her zaman büyütür” düşüncesi buna örnektir. Pozitif bir sayıyı 1’den küçük pozitif bir sayıyla çarpmak, bu genellemeyi sınayan bir durum oluşturur. Sıfır ve 1 ile çarpma da ayrıca ele alınmalıdır.
Aşırı özelleme
Bir kavramı gereğinden dar bir örnek kümesiyle sınırlandırmaktır. Karenin yalnız kenarları yatay ve düşey durduğunda kare sayılması, döndürülmüş bir karenin reddedilmesine yol açabilir. Öğrencinin yönelime mi yoksa kenar ve açı özelliklerine mi baktığı sorgulanır.
Kısıtlı kavrayış
Kavramın yalnız bir anlamı veya özelliğiyle çalışmaktır. Eşit işaretini sadece “işlemin sonucunu yaz” olarak okumak, 8 + 4 = □ + 5 gibi bir cümleyi yorumlamayı güçleştirebilir. İki tarafın aynı değeri taşıması üzerinde çalışılır.
Temsiller arasında anlamın değişmesi
Sözel durum, şekil, tablo ve sembol arasında geçiş yaparken ilişki yanlış kurulabilir. Örneğin bir miktarın “yarısını alma” ile “1/2’ye bölme” aynı işlem olarak yorumlanabilir. Öğrenciden her işlemi bir bağlam ve modelle açıklaması istenir.
5. Öğrenci açıklamalarını inceleyin
Bu kısa örnekler bir tanılama testi değildir. Bir yoruma karar vermeden önce hangi ek sorunun yararlı olabileceğini düşünmek için hazırlanmıştır.
Örnek A · Doğru cevap, sorunlu gerekçe
Öğrenci 0,4’ü 0,35’ten büyük buluyor ve “Kısa olan her zaman büyüktür” diyor.
Ek soru: “0,4 ile 0,65’i aynı yöntemle karşılaştır. Yüzlük modelde de gösterebilir misin?” Yanıtların birlikte incelenmesi, yazım uzunluğuna dayalı kuralın sürüp sürmediğini gösterir.
Örnek B · Yanlış cevap, henüz açıklama yok
Öğrenci 7 × 8 işleminin sonucunu 54 yazıyor. Çözüm yolunu açıklamamış.
Ek soru: “7 tane 8’i bir modelle veya bildiğin başka bir çarpımdan yararlanarak açıkla.” Sayısal hatırlama, hesaplama ve çarpmanın anlamını birbirinden ayırmak gerekir.
Örnek C · Temsile bağlı güçlük
Öğrenci 3/4’ü aynı bütün üzerindeki alan modelinde doğru gösteriyor; sayı doğrusunda ise 1’in sağına yerleştiriyor.
Ek soru: “Sayı doğrusunda bir bütün neresi? 0 ile 1 arasını dört eş parçaya ayırıp üçünü gösterebilir misin?” Alan modelindeki bilgisi bir başlangıç noktası olarak kullanılabilir.
6. Bir yanılgı yorumunu hangi kanıtlar destekler?
Öğretmen; sonuç, gerekçe ve görev koşullarını birlikte inceler. Yeterli kanıtın ne olduğu kullanılan ölçme aracına ve amaca bağlıdır; her durum için geçerli sabit bir soru sayısı veya eminlik eşiği yoktur.
- Gerekçeyi alın. “Bu cevaba nasıl ulaştın?”, “Burada hangi ilişkiyi kullandın?”
- Karşıt bir görev verin. Aynı kuralın doğru ve yanlış sonuç üretebildiği iki durumu birlikte seçin.
- Temsili değiştirin. Şekil, sayı doğrusu, tablo veya nesne üzerinden açıklama isteyin. Aracın kullanımının bilinip bilinmediğini de kontrol edin.
- Koşulu değiştirin. Birimi, bütünü, yönelimi veya başlangıç değerini değiştirip hangi özelliğin korunduğunu sorun.
- Yeniden değerlendirin. Yeni sayılar, başka bir bağlam ve gerekirse daha sonraki bir zamanda anlayışın nasıl kullanıldığını gözleyin.
Öğrencinin cevabından emin olması yardımcı bir bilgi olabilir; tek başına bir düşüncenin kavram yanılgısı olduğunu göstermez. Benzer biçimde bir hatanın tekrarı, gerekçesi incelenmeden yalnız kavramsal bir nedene bağlanmamalıdır.
Bingölbali ve Özmantar; Altıparmak ve Palabıyık (2017); Mathematics Assessment Project.
7. Öğretim açıklamayı yeniden kurmaya yardım etmeli
Öğrencinin ilk tahmini ile modelden elde ettiği sonuç arasındaki uyuşmazlık, kendi kuralını sorgulaması için bir fırsat oluşturabilir. Ancak şaşırtıcı bir sonuç göstermek tek başına yeterli değildir: öğrenciye yeni ilişkiyi kurabileceği anlaşılır bir açıklama ve yeniden uygulama fırsatı sağlanmalıdır.
Bingölbali ve Özmantar; Nesher (1987).
Örnek öğretim akışı · Birim kesirlerin karşılaştırılması
- Tahmin: Aynı bütün için 1/4 ile 1/8’i karşılaştırın ve gerekçe isteyin.
- Sınama: Aynı uzunluktaki iki şeridi dört ve sekiz eş parçaya ayırın. Her birinden bir parça seçin.
- Temsilleri ilişkilendirme: Parçaları aynı birim sayı doğrusuna aktarın. Şeritteki büyüklük ile sayı doğrusundaki konumu karşılaştırın.
- Yeniden açıklama: Öğrenciden paydanın, parça sayısının ve birim parça büyüklüğünün ilişkisini kendi sözleriyle ifade etmesini isteyin.
- Transfer: 1/5 ile 1/9’u model açık değilken karşılaştırın; gerekçesini yeniden inceleyin.
Bu örnek bir tasarım önerisidir. Öğrencide bilişsel çatışma veya kalıcı öğrenme oluşturduğu, yalnız etkinliğin varlığından çıkarılamaz.
Kesirlerin sayı olarak ele alınması için IES kesir öğretimi kılavuzu.
Çoklu temsilde bağlantı kurun
Aynı ekranda birçok görsel bulunması yeterli değildir. Şeritteki bir parçanın sayı doğrusunda hangi aralığa, sembolde hangi kesre karşılık geldiği açıkça ilişkilendirilmelidir. Öğrenci zamanla bu geçişleri kendisi kurabilmelidir.
Etkileşime matematiksel bir amaç verin
Bir kontrolün neyi değiştirdiği ve neyi koruduğu anlaşılmalıdır. “Paydayı değiştir, bütün aynı kalsın” gibi bir görev belirli bir ilişkiyi araştırır. Yalnız bir düğmeye basmak veya animasyon izlemek kavramsal öğrenmenin kanıtı değildir.
Öğrenciyi kendi açıklamasına döndürün
“İlk düşüncende neyi değiştirdin?”, “Yeni kuralın hangi koşullarda geçerli?”, “Bu ilişkiyi başka bir temsille gösterebilir misin?” soruları, yalnız sonucu düzeltmenin ötesinde öğrenme kanıtı sağlar.
8. Hangi yorumlardan kaçınmalı?
- “Yanlış yaptı; demek ki kavram yanılgısı var.” Önce gerekçeyi ve görev koşullarını inceleyin.
- “Doğru yaptı; demek ki konuyu biliyor.” Doğru sonucun hangi yöntemle elde edildiğini sorun.
- “Dikkatsizlikten yaptı.” Gözlem olmadan nedeni belirlemeyin; kavramsal ve işlemsel açıklamaları birlikte değerlendirin.
- “Bu yanılgı bir etkinlikle tamamen giderildi.” Yeni görevlerde ve zaman içinde nasıl kullanıldığını yeniden inceleyin.
- “Yanlış bilgisini silip doğruyu vermeliyim.” Kullanılabilir önceki bilgiyi belirleyin; nerede işe yaradığını ve hangi koşullarda genişletilmesi gerektiğini araştırın.
- “Bir örnekle bütün öğrencileri aynı biçimde açıklayabilirim.” Aynı sonuç farklı gerekçelerden; aynı öğrenci de farklı bağlamlarda farklı düşüncelerden yararlanabilir.
9. Sık sorulanlar
Kavram yanılgısı yalnız yanlış cevapta mı görünür?
Hayır. Geçerli olmayan bir kural bazı örneklerde doğru sonuç verebilir. Bu nedenle gerekçe ve karşıt görevler önemlidir.
Öğrenci doğru tanımı söyleyince kavramı anlamış olur mu?
Tanımı söylemek bir kanıttır; fakat tanımı farklı örneklerde kullanma, örnek olmayanı ayırt etme ve temsiller arasında geçiş yapma da incelenmelidir.
Öğrencinin cevabını savunması yeterli mi?
Hayır. Eminlik, açıklamanın içeriğinin yerine geçmez. Kullanılan gerekçenin matematiksel anlamı ve farklı durumlarda nasıl işlediği araştırılır.
Bir karşı örnek göstermek yanılgıyı giderir mi?
Karşı örnek sorgulama başlatabilir. Öğrencinin örneği nasıl yorumladığı, ilk açıklamasını değiştirip değiştirmediği ve yeni ilişkiyi kullanıp kullanamadığı ayrıca görülmelidir.
Uygulamadaki bir kayıt öğrenciye tanı koyar mı?
Uygulama, öğretmenin inceleyebileceği düşünce örüntülerini, görevleri ve öğretim önerilerini sunar. Bir başlığa tıklanması veya tek sorunun yanlış yanıtlanması, o öğrenci hakkında kesin bir karar anlamına gelmez.
Bu bölümdeki örnekleri küçük sınıflarda aynen kullanmalı mıyım?
Örnekler öğretmene yöneliktir. Öğrenciyle kullanılacak görev; sınıfın öğrenme çıktısı, sayı sınırları, kullanılan dil ve öğrencinin temsil deneyimi dikkate alınarak seçilmelidir.